Radon se narodil do rodiny děčínského bankovního úředníka. Poté, co byl jeho otec penzionován, přesídlila rodina do Litoměřic, kde Radon navštěvoval gymnázium. Po vystudování matematiky a fyziky na vídeňské univerzitě a absolvování stipendijního pobytu v Göttingen nastoupil v roce 1911 na německou polytechniku v Brně. Záhy však využil možnosti návratu do Vídně, kde mu v roce 1913 byl Vídeňskou univerzitou přiznán titul soukromého docenta na základě habilitační práce Teorie a aplikace absolutně aditivních množinových funkcí (Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen).
Během své kariéry působil na univerzitách v Hamburku, Greifswaldu, Erlangen a nejdéle pak mezi lety 1928 a 1945 jako řádný profesor na univerzitě ve Vratislavi. Odtud prchl na konci války do Innsbrucku a následně se v roce 1946 usazuje opět ve Vídni. Na zdejší univerzitě vykonával nejprve funkci děkana a posléze i rektora. Radon byl též dlouholetým členem Rakouské akademie věd, předsedou její matematické a fyzikální sekce (1952–1956), mezi lety 1948–1950 byl prezidentem Rakouské matematické společnosti. Zemřel ve Vídni v roce 1956.
Radon položil základy pro další budování obecné teorie míry a integrálu a přispěl svými výsledky k rozvoji lineární funkcionální analýzy. Rozvíjel afinní diferenciální geometrii, pracoval v Riemannově geometrii a konvexitě, také v teorii matic. S jeho jménem jsou spojeny zejména Radonova transformace, která se používá ve výpočetní tomografii, či Radonova věta v geometrii a důležitá je Radon-Nikodymova věta teorie míry.
Iniciátorem vzniku desky bylo děčínské Oblastní muzeum, slavnostního odhalení v roce 2009 se účastnil jak její autor, medailér Zdeněk Kolářský, tak zejména potomci Johanna Radona. Desku tvoří v pravé části reliéf Radonova profilu, v levé části se nachází dvojjazyčný text připomínající význam děčínského rodáka.
